ホール効果

電位が発生する原理の解析

磁界を加えられていないとき
左図のような直方体で、電子がキャリアのN型半導体について考えていきます。

磁界が加えられていないとき、電流\(I[A]\)が流れていても、A面・B面にはキャリアの偏りがないため、電位は発生しません。

流れている電流\(I[A]\)は、電子の電気素量\(e[C]\)、電子の密度\(n\)[個/\(m^3\)]、電子の速度\(v[m/s]\)、物質の厚さ\(t[m]\)、幅\(d[m]\)としたとき、次のように表されます。
\(I=envtd\)　…(1)

変形すると、
\(\displaystyle v=\frac{I}{entd}\)　…(2)

磁束密度\(B[T]\)の磁界を加える
磁束密度\(B[T]\)の磁界を加えると、フレミング左手の法則に従って、電子にローレンツ力\(F_L[N]\)が働いてB面に引き寄せます。
\(F_L=evB\)　…(3)

電位\(V_H[V]\)が発生する
キャリアの密度が偏ることによって、A面・B面間に電位\(V_H\)が発生します。

電界強度\(E[V/m]\)の電界が発生する
発生した電位は、A面・B面間に電界強度\(E[V/m]\)の一様な電界を発生させます。
一様な電界における電位\(V_H\)と電界\(E\)の関係は、物質の幅\(d\)を使うと、コンデンサと同じ関係式となります。
\(V_H=Ed\)　…(4)

電界\(E\)によって、クーロン力\(F_C[N]\)が働いてA面に引き寄せます。電子の電荷の大きさは電気素量\(e[C]\)なので、
\(F_C=eE\)　…(5)

ローレンツ力\(F_L[N]\)とクーロン力\(F_C[N]\)が均衡する
B面に引き寄せるローレンツ力\(F_L\)と、A面に引き寄せるクーロン力\(F_C\)が均衡します。

(3)式＝(5)式となるので、
\(evB=eE\)
⇔\(vB=E\)　…(6)

(6)式を(4)式に代入すると、電位\(V\)が求まります。
\(V_H=Ed=vBd\)　…(7)

(7)式に(2)式を代入して電子の速度\(v\)を消すと、
\(\displaystyle V_H=vBd=\frac{I}{entd} Bd=\frac{IB}{ent}\)　…(8)

以上より、ホール効果で得られる電位\(V_H\)が求まりました。

(8)式の\(e\)、\(n\)、\(t\)は、固定値なので、一定の磁束密度\(B\)を与えるようにした場合、
電位\(V_H\)と電流\(I\)は比例関係となります。（\(V_H∝I\)）
このことから、電流値そのものを測定することも可能です。

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