【電験三種：理論】平成２１年度　問９

難易度

交流波形の瞬時値に関する問題です。
高校数学の基礎問題級のレベルですが、三角関数のラジアン表記に慣れていないと少々手間取ります。
手間取ったとしても、この問題は確実に解きたい問題です。

問題

ある回路に、$i=4\sqrt{2}sin120\pi t[A]$の電流が流れている。
この電流の瞬時値が、$t=0[s]$以降に初めて$4[A]$となるのは、時刻$t=t_1[s]$である。
$t_1[s]$の値として、正しいのは次のうちどれか。

(1)$\displaystyle \frac{1}{480}$　　　(2)$\displaystyle \frac{1}{360}$　　　(3)$\displaystyle \frac{1}{240}$　　　(4)$\displaystyle \frac{1}{160}$　　　(5)$\displaystyle \frac{1}{120}$

回答

答え

(１)

回答方針

①$i=4[A]$を、問題の式に代入する。
②$4[A]$のときの$sin120\pi t_1$の値がわかる。
③このときの$t_1$を計算する。

要点整理

ラジアンについて
１ラジアンは、円の半径の長さに等しい弧に対する中心角の大きさです。
単位は$[rad]$であり、ラジアンで表記する方法を、弧度法と呼びます。
文字で書いてもよくわからないので、図にすると、下の図となります。

度数法$\theta[°]$、弧度法$ωt[rad]$、対応する$sin ωt$、$tan ωt$を表にまとめると下記の通りです。

$\theta[°]$	$ωt[rad]$	$sinωt$	$tanωt$
$0$	$0$	$0$	$0$
30	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
45	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
60	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$0$	$\infty$
180	$\pi$	$0$	$0$
360	$2\pi$	$0$	$0$

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瞬時値$i(t)$に関連するパラメータについて

最大値 $I_m$は、基準値 $i(t)=0[A]$の時から一番大きな値を最大値と呼びます。
「電流の大きさ」や、「電圧の大きさ」と呼ぶような時は、最大値を指します。

位相差 $\theta$は、基準となる位相に対するズレの事です。
回路の負荷に、コイルやコンデンサ等の負荷があると、電圧と電流の間に位相差が発生します。

周期 $T[s]$は、電圧・電流の波形が１回上下して戻るまでの時間です。
周波数 $f[Hz]$は、電圧・電流の波形が１秒間に上下を繰り返す回数です。
周期とは逆数の関係にあり、$\displaystyle T=\frac{1}{f}$の式で表されます。

角速度 $ω[rad/s]$は、１秒間辺りに回転した速度のことです。
周波数とは、$ω=2\pi f$の関係があり、頻繁に使用します。

実効値 $I_{rms}$
交流は電圧も電流も常に変化し続けるため、供給される電力を瞬時値を使って計算することは大変です。また、単純に平均値を取っても、周期的な正弦波なので０になります。
そのため、ある電気抵抗に交流を加えた場合の1周期における平均電力と、同じ抵抗に直流を加えた場合の電力が等しくなったとき、直流と同じ値となるように定義したものが実効値です。
$\displaystyle I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T}i(t)^2dt}$

ぱっと見複雑な式ですが、意味を分解していけば理解も簡単です。
１周期分の瞬時値を足して、周期$T$で割れば、定義通りに直流と同じ値を取り出せそうです。
しかし、交流の場合は、プラス・マイナスを繰り返すので単純に足すだけでは０になってしまいます。
それを解決するため、瞬時値を二乗して$i(t)^2$とします。
次に、１周期分の瞬時値を足すため、１周期分の積分をして、周期$T$で割ります。
$\displaystyle \frac{1}{T}\int_0^{T}i(t)^2dt$
最後に、瞬時値を二乗してから積分計算をしたので、√することで元に戻します。
$\displaystyle I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T}i(t)^2dt}$
これで完成です。

要点整理の適用

$i=4\sqrt{2}sin120\pi t_1[A]$の式に、$i=4[A]$を、問題の式に代入します。
$4=4\sqrt{2}sin120\pi t_1[A]$
⇔$\displaystyle sin120\pi t_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle sin120\pi t_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$となるのは、$\displaystyle 120\pi t_1 =\frac{\pi}{4}$のときです。

$\displaystyle t_1 =\frac{\pi}{4}・\frac{1}{120\pi}=\frac{1}{480}$

以上より、$\displaystyle t_1 =\frac{1}{480}$ですので、答えは(1)です。

出典元

平成２１年度第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題問９

参考書