【電験三種：理論】平成２１年度　問１６

難易度

三相交流のY-Δ変換の問題で、解き方を知っていないと難しい問題です。

・Y-Δ変換
・線間電圧、相電圧
・線電流、相電流
この３つについて理解していることが求められます。

問題

平衡三相回路について、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)図１のように、抵抗$R[Ω]$が接続された平衡三相負荷に線間電圧$E[V]$の対称三相交流電源を接続した。このとき、図１に示す電流$\dot{I}_1[A]$の大きさの値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。

(1)　$\displaystyle \frac{E}{4\sqrt{3}R}$

(2)　$\displaystyle \frac{E}{4R}$

(3)　$\displaystyle \frac{\sqrt{3}E}{4R}$

(4)　$\displaystyle \frac{\sqrt{3}E}{R}$

(5)　$\displaystyle \frac{4E}{\sqrt{3}R}$

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(b)次に、図１を図２にように、抵抗$R[Ω]$をインピーダンス$\dot{Z}=12+j9[Ω]$の負荷に置き換え、線間電圧$E=200[V]$とした。このとき、図２に示す電流$\dot{I}_2[A]$の大きさの値として、最も近いのは次のうちどれか。

(1)　2.5

(2)　3.3

(3)　4.4

(4)　5.8

(5)　7.7

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答え

問(a)　(3)
問(b)　(2)

回答方針

(a)
①Δ-Y変換をして、Δ結線をY結線の回路に書き換える。
②線間電圧から、相電圧を求める。
③相電圧とY結線回路から線電流を求める。

(b)
①(a)で求めた線電流の式の$R$を$\dot{Z}$に書き換えて線電流の大きさを求める。
②線電流から、相電流を求める。

要点整理　問(a)

・Y-Δ変換
・線間電圧と相電圧
の２つについて整理します。

Y-Δ変換について

三相交流を扱う際、Δ結線では扱い難い場合、Y結線では扱い難い場合があります。
その時に、Y-Δ変換をしてΔ結線をY結線に変換する、逆にY結線をΔ結線に変換することで、問題を解決しやすくなります。

	Δ結線の抵抗を$R_\Delta$ Y結線の抵抗を$R_Y$ とし、AB間、BC間、CA間の抵抗が全て同じ抵抗値の物が接続されているとします。
	まずは、Δ結線のAB間の抵抗について検討します。 Δ結線のAB間の抵抗を$R_{AB}$としたとき、 $\displaystyle \frac{1}{R_{AB}}=\frac{1}{R_\Delta}+\frac{1}{2R_\Delta}=\frac{3}{2R_\Delta}$ ⇔$\displaystyle R_{AB}=\frac{2R_\Delta}{3}$　……①
	次に、Y結線のAB間の抵抗について検討します。 Y結線のAB間の抵抗も同じく$R_{AB}$とすると、 $R_{AB}=2R_Y$　……② となります。 最後に、①=②より、 $\displaystyle \frac{2R_\Delta}{3}=2R_Y$ したがって、 $R_\Delta=3R_Y$ ⇔$\displaystyle R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta$ の関係が導き出せます。 注意点としては、全ての抵抗が同じ抵抗という前提の元、簡略化しています。
	全部の抵抗値が違う場合のY-Δ変換の公式は、 $\displaystyle R_{YA}=\frac{R_{\Delta B}R_{\Delta C}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$ $\displaystyle R_{YB}=\frac{R_{\Delta C}R_{\Delta A}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$ $\displaystyle R_{YC}=\frac{R_{\Delta A}R_{\Delta B}}{R_{\Delta A}+R_{\Delta B}+R_{\Delta C}}$ です。導出するのは手間なので、ここでは割愛します。$R_{\Delta A}=R_{\Delta B}=R_{\Delta C}=R_{\Delta }$とした場合、 $\displaystyle R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta$ が成り立つことがわかると思います。

Y結線の線間電圧と相電圧について

三相交流の回路の問題において、始めて出てくる線間電圧と、相電圧という概念は、理解できるまで非常にわかりづらいです。
三相交流は、変圧器、電動機等の機械において絶対に必要になるため、線間電圧・相電圧について理解しないと、機械の理解もできません。

Δ結線では、線間電圧と、相電圧は同じですが、
Y結線では、線間電圧は、相電圧に比べて
・$\sqrt{3}$倍の大きさである。
・位相が30°進んでいる。
この２つについて理解していってください。

	三相回路のY結線では、 各相－中性点間の電圧である相電圧 各相間の電圧である線間電圧 の二つの電圧があります。
	各相の相電圧を$V_A$、$V_B$、$V_C$とします。 このとき、各相間には、120°の位相差があり、ベクトル図として表すと、左図のようになります。
	線間電圧$V_{AB}$と、相電圧$V_A$、$V_B$には $V_{AB}=V_A-V_B$ の関係があります。 左図のようにベクトル合成をすると、 $V_{AB}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}V_A=\sqrt{3}V_A$ となります。 位相も左図の通り、30°進んでいます。 整理すると、 ①線間電圧$V_{AB}$の大きさは、相電圧$V_A$の$\sqrt{3}$倍です。 ②線間電圧$V_{AB}$の位相は、相電圧$V_A$よりも30°進んでいます。 各相の相電圧$V_A$、$V_B$、$V_C$と、 各線間電圧を$V_{AB}$、$V_{BC}$、$V_{CA}$の関係に関しても、同様の事が言えます。

要点整理　問(b)

・線電流と相電流について整理します。

Δ結線の線電流と相電流について

線間電圧と、相電圧について要点整理しましたが、ここでは線電流と、相電流について要点整理します。

Y結線では、線電流と、相電流は同じですが、
Δ結線では、線電流は、相電流に比べて
・$\sqrt{3}$倍の大きさである。
・位相が30°遅れている。
この２つについて理解していってください。

	三相回路のΔ結線では、 各相に流れる相電流 各線に流れる線電流 の二つの電流があります。 キルヒホッフの電流則から $I_A=I_{AB}-I_{CA}$ $I_B=I_{BC}-I_{AB}$ $I_C=I_{CA}-I_{BC}$ の関係があります。
	各相の相電流を$I_{AB}$、$I_{BC}$、$I_{CA}$とします。 このとき、各相電流間には、120°の位相差があり、ベクトル図として表すと、左図のようになります。
	線電流$I_A$と、相電流$I_{AB}$、$I_{BC}$を、左図のようにベクトル合成をすると、 $I_A=2×\frac{\sqrt{3}}{2}I_{AB}=\sqrt{3}I_{AB}$ となります。 位相も左図の通り、線電流が30°遅れています。 整理すると、 ①線電流$I_A$の大きさは、相電流$I_{AB}$の$\sqrt{3}$倍です。 ②線電流$I_A$の位相は、相電流$I_{AB}$よりも30°遅れています。 各相の相電流$I_{AB}$、$I_{BC}$、$I_{CA}$と、 各線電流$I_A$、$I_B$、$I_C$の関係に関しても、同様の事が言えます。

要点整理の適用　問(a)

要点整理で書き出したΔ-Y変換を行って回答します。

	左図のΔ結線回路に、Δ-Y変換を行います。
	要点整理で記載したΔ-Y変換の式は、 $\displaystyle R_Y=\frac{1}{3}R_\Delta$ なので、 問題の回路にΔ-Y変換をすると、$\displaystyle \frac{1}{3}R$となります。
	線間電圧は$E[V]$なので、相電圧は$\frac{E}{\sqrt{3}}[V]$です。 $\displaystyle \dot{I}_1=\frac{\frac{E}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}R}=\frac{3E}{4\sqrt{3}R}=\frac{\sqrt{3}E}{4R}$ したがって、 $\displaystyle \dot{I}_1=\frac{\sqrt{3}E}{4R}$ が答えとなります。

要点整理の適用　問(b)

問(a)で、線電流が$\displaystyle \dot{I}_1=\frac{\sqrt{3}E}{4R}$として求まりました。
回路中の$R$を$\dot{Z}$に置き換えると、

$\displaystyle \dot{I}_1=\frac{\sqrt{3}E}{4\dot{Z}}=\frac{200\sqrt{3}}{4(12+j9)}$

$\dot{I}_1$の大きさ$\displaystyle |\dot{I}_1|$は、

$\displaystyle |\dot{I}_1|=\frac{200\sqrt{3}}{4\sqrt{12^2+9^2}}=3.33\sqrt{3}[A]$

です。
線電流$\dot{I}_1$と相電流$\dot{I}_2$の関係は、
$\displaystyle \dot{I}_2=\frac{\dot{I}_1}{\sqrt{3}}$なので、

$\displaystyle |\dot{I}_2|=\frac{|\dot{I}_1|}{\sqrt{3}}=3.33[A]$

以上より、
$|\dot{I}_2|=3.33[A]$が答えとなります。

出典元

平成２１年度第三種電気主任技術者試験　理論科目B問題問１６

参考書