【電験三種：理論】平成２１年度　問１

難易度

電磁気学の、平行平板コンデンサに関する基礎知識問題です。
関係公式を理解していれば、回答には困らないでしょう。

問題

電極板面積と電極板間隔が共に$S [m^2]$と$d[m]$で、一方は比誘電率が$ε_{r1}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_1$と、他方は比誘電率が$ε_{r2}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_2$がある。

いま、これらを図のように並列に接続し、端子Ａ、Ｂ間に直流電圧$V_0[V]$を加えた。

このとき、コンデンサ$C_1$の電極板間の電界の強さを $E_1 [V/m]$、電束密度を $D_1[C/m^2]$、また、コンデンサ$C_2$の電極板間の電界の強さを$E_2 [V/m]$、電束密度を $D_2[C/m^2]$とする。

両コンデンサの電界の強さ$E_1 [V/m]$と$E_1 [V/m]$はそれぞれ 　ア　 であり、電束密度$D_1[C/m^2]$と$D_2[C/m^2]$はそれぞれ 　イ　 である。

したがって、コンデンサ$C_1$に蓄えられる電荷を$Q_1[C]$、コンデンサ$C_2$に蓄えられる電荷を$Q_2[C]$とすると、それらはそれぞれ 　ウ　 となる。

ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。
また、真空の誘電率を$ε_0[F/m]$とする。

上記の記述中の空白箇所（ア）、（イ）及び（ウ）に当てはまる式として、正しいものを組合わせたのは次のうちどれか。

	(ア)	(イ)	(ウ)
(1)	$\displaystyle E_1=\frac{ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle E_2=\frac{ε_{r2}}{d}V_0$	$\displaystyle D_1=\frac{ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle D_2=\frac{ε_{r2}}{d}SV_0$	$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle Q_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$
(2)	$\displaystyle E_1=\frac{ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle E_2=\frac{ε_{r2}}{d}V_0$	$\displaystyle D_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle D_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}V_0$	$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle Q_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$
(3)	$\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}$ $\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}$	$\displaystyle D_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle D_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$	$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle Q_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}V_0$
(4)	$\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}$ $\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}$	$\displaystyle D_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle D_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}V_0$	$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle Q_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$
(5)	$\displaystyle E_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$ $\displaystyle E_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$	$\displaystyle D_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}V_0$ $\displaystyle D_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}V_0$	$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0}{d}SV_0$ $\displaystyle Q_2=\frac{ε_0}{d}SV_0$

回答

答え

(4)

回答方針

平行平板コンデンサに関する公式の理解が重要な問題です。
関係公式の項目に、書き出しました。
回答する際は、必要な関係公式を書き出してから、問題に当てはめるように進めることをお勧めします。

要点整理

コンデンサにおける関係公式を書き出して要点整理します。

1. $\displaystyle V=E d$
   平行平板コンデンサにおける電圧 $\displaystyle V [V]$、電界の強さ $\displaystyle E [V/m]$と、コンデンサ極板間距離$\displaystyle d [m]$の関係式です。
   式を変換すると、$\displaystyle E=\frac{V}{d}$ となります。
   　
2. $\displaystyle D=ε E$
   平行平板コンデンサの電束密度 $\displaystyle D [C/m^2]$、電界の強さ $\displaystyle E [V/m]$と、誘電率 $\displaystyle ε [F/m]$の関係式です。
   
   　
3. $\displaystyle Q=C V$
   コンデンサに蓄えられる電荷 $\displaystyle Q [C]$、静電容量 $\displaystyle C [F]$、電圧 $\displaystyle V [V]$の関係式です。
   　
4. $\displaystyle C=ε \frac{S}{d}$
   コンデンサに蓄えられる電荷 $\displaystyle Q [C]$、誘電率 $\displaystyle ε [F/m]$、コンデンサの極板面積誘電率 $\displaystyle S [m^2]$と、$\displaystyle d [m]$ の関係式です。
   　
5. $\displaystyle ε=ε_r ε_0$
   コンデンサの誘電率 $\displaystyle ε [F/m]$、比誘電率 $\displaystyle ε_r$と、真空の誘電率 $\displaystyle ε_0 [F/m]$の関係式です。
   

関係公式の適用

書き出した関係公式を、各回答に適用します。

　ア　

コンデンサの電界の強さ$\displaystyle E_1[V/m] , E_2[V/m]$を求める問題であるため、
書き出した関係公式1. $\displaystyle V=E d$ を変形させて、$\displaystyle E=\frac{V}{d}$とすると、 両コンデンサの印加電圧は$\displaystyle V_0$ 、両コンデンサ極板間距離$\displaystyle d$であることから、

$\displaystyle E_1=\frac{V_0}{d}$

$\displaystyle E_2=\frac{V_0}{d}$

と、求まります。

　イ　

平行平板コンデンサの電束密度 $\displaystyle D [C/m^2]$を求める問題であるため、書き出した関係公式2. $\displaystyle D=ε E$ と、　ア　 の回答から

$\displaystyle D_1=ε E_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}V_0$

$\displaystyle D_2=ε E_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}V_0$

と、求まります。

　ウ　

コンデンサに蓄えられる電荷 $\displaystyle Q [C]$を求める問題であるため、書き出した関係公式
3.$\displaystyle Q=C V$、4.$\displaystyle C=ε \frac{S}{d}$、5.$\displaystyle ε=ε_r ε_0$から、
$\displaystyle Q=C V= \frac{ε}{d} SV= \frac{ε_rε_0}{d} SV$と変形できます。

$\displaystyle Q_1=\frac{ε_0 ε_{r1}}{d}SV_0$

$\displaystyle Q_2=\frac{ε_0 ε_{r2}}{d}SV_0$

と求まります。

出典元

平成２１年度第三種電気主任技術者試験　理論科目Ａ問題問１

参考書