力学

概要

高校で学んだ基礎物理学の復習です。
運動方程式と、等加速度直線運動について解説します。

　

公式一覧

質量\(m[kg]\)、働く力\(F[N]\)、加速度\(α[m/s^2]\)、速度\(v[m/s]\)、位置\(x[m]\)、時間\(t[s]\)
基準時間\(t_0[s]\)、初速\(v_0[m/s]\)、初期位置\(x_0[m]\)としたとき、それぞれの関係式は次の通りです。

運動方程式
\(F=mα[N]\)

速度　\(v[m/s]\)
\(v=αt+v_0\)

ただし、初速\(v_0=0[m/s]\)のとき、
\(v=αt\)

位置　\(x[m]\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}αt^2+v_0t+x_0\)

ただし、初速\(v_0=0[m/s]\)、初期位置\(x_0=0[m]\)のとき、
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}αt^2\)

運動方程式

運動方程式とは、質量\(m[kg]\)の物体に、力\(F[N]\)を加え続けたときに加速度\(α[m/s^2]\)が生じることを表す式です。
文字通りに立式すると、\(\displaystyle α=\frac{F}{m}\)となります。

分数形式で表現すると、mとFのどちらが分母か忘れる場合があるので、

\(F=mα\)

と、運動方程式を書き出した方が一般的でしょう。

　

　

等加速度直線運動

等加速度直線運動は、等加速度の文字通り、加速度\(α[m/s^2]\)が一定の運動です。
物が進む向きと加速度の向きが同じとき、直線運動します。
等加速度直線運動の代表例は、物体の自由落下（空気抵抗等は無視する）です。

加速度\(α[m/s^2]\)、速度\(v[m/s]\)、位置\(x[m]\)の関係は、微分積分で表される関係なので、それを示していきます。

\(α[m/s^2]\) ― \(v[m/s]\)の関係式

加速度\(α[m/s^2]\)は、単位時間当たりの速度\(v[m/s]\)の変化量です。
つまり、１秒で速度\(v\)がどれくらい変化したかを表します。

時間を細かく分解していくと、細かく速度の変化量が見れることから、加速度\(α\)と速度\(v\)の関係は微分で表せます。

\(\displaystyle α=\frac{dv}{dt}\)

微分とは逆に、積分で加速度\(α\)と速度\(v\)の関係を表すこともできます。
\(v=\int α dt=αt+C_1\)

　

　

\(v[m/s]\) — \(x[m]\)の関係式

速度\(v[m/s]\)は、単位時間当たりの位置\(x[m]\)の変化量です。
つまり、１秒で位置\(x\)がどれくらい変化したかを表します。

時間を細かく分解していくと、細かく速度の変化量が見れることから、速度\(v\)と位置\(x\)の関係は微分で表せます。

\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}\)

微分とは逆に、積分で速度\(v\)と位置\(x\)の関係を表すこともできます。
\(x=\int v dt\)

速度は、\(v=αt+v_0\)で表されるので、
\(\displaystyle x=\int αt+v_0 dt=\frac{1}{2}αt^2+v_0t+C_2\)

　

　

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