力学

概要

高校で学んだ基礎物理学の復習です。
運動方程式と、等加速度直線運動について解説します。

　

公式一覧

質量$m[kg]$、働く力$F[N]$、加速度$α[m/s^2]$、速度$v[m/s]$、位置$x[m]$、時間$t[s]$
基準時間$t_0[s]$、初速$v_0[m/s]$、初期位置$x_0[m]$としたとき、それぞれの関係式は次の通りです。

運動方程式
$F=mα[N]$

速度　$v[m/s]$
$v=αt+v_0$

ただし、初速$v_0=0[m/s]$のとき、
$v=αt$

位置　$x[m]$
$\displaystyle x=\frac{1}{2}αt^2+v_0t+x_0$

ただし、初速$v_0=0[m/s]$、初期位置$x_0=0[m]$のとき、
$\displaystyle x=\frac{1}{2}αt^2$

運動方程式

運動方程式とは、質量$m[kg]$の物体に、力$F[N]$を加え続けたときに加速度$α[m/s^2]$が生じることを表す式です。
文字通りに立式すると、$\displaystyle α=\frac{F}{m}$となります。

分数形式で表現すると、mとFのどちらが分母か忘れる場合があるので、

$F=mα$

と、運動方程式を書き出した方が一般的でしょう。

　

　

等加速度直線運動

等加速度直線運動は、等加速度の文字通り、加速度$α[m/s^2]$が一定の運動です。
物が進む向きと加速度の向きが同じとき、直線運動します。
等加速度直線運動の代表例は、物体の自由落下（空気抵抗等は無視する）です。

加速度$α[m/s^2]$、速度$v[m/s]$、位置$x[m]$の関係は、微分積分で表される関係なので、それを示していきます。

$α[m/s^2]$ ― $v[m/s]$の関係式

加速度$α[m/s^2]$は、単位時間当たりの速度$v[m/s]$の変化量です。
つまり、１秒で速度$v$がどれくらい変化したかを表します。

時間を細かく分解していくと、細かく速度の変化量が見れることから、加速度$α$と速度$v$の関係は微分で表せます。

$\displaystyle α=\frac{dv}{dt}$

微分とは逆に、積分で加速度$α$と速度$v$の関係を表すこともできます。
$v=\int α dt=αt+C_1$

　

　

$v[m/s]$ — $x[m]$の関係式

速度$v[m/s]$は、単位時間当たりの位置$x[m]$の変化量です。
つまり、１秒で位置$x$がどれくらい変化したかを表します。

時間を細かく分解していくと、細かく速度の変化量が見れることから、速度$v$と位置$x$の関係は微分で表せます。

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}$

微分とは逆に、積分で速度$v$と位置$x$の関係を表すこともできます。
$x=\int v dt$

速度は、$v=αt+v_0$で表されるので、
$\displaystyle x=\int αt+v_0 dt=\frac{1}{2}αt^2+v_0t+C_2$

　

　

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