コルピッツ発振器

(1)簡易小信号等価回路に書変え

回路解析をするために、トランジスタを簡易小信号等価回路に書き変えます。

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回路中の各パラメータの意味は、次の通りです。

(2)ループ利得の式を求める

入力電圧$v_i$と、入力電流$i_i$の関係は、
$i_i=\frac{v_i}{h_i}$　…①

電流源から右側をみたアドミタンス$Y_c$は、
$Y_c=\frac{1}{h_o}+jωC_1+\frac{1}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}$　…②

電流源から右側をみたインピーダンス$Z_c$は、
$Z_c=\frac{1}{Y_c}$　…③

コレクタの電圧$v_c$は、
$\displaystyle v_c=-h_fi_iZ_c=\frac{-h_fi_i}{\frac{1}{h_o}+jωC_1+\frac{1}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}}$　…④

出力電圧$v_o$は、分圧則から、
$\begin{eqnarray} v_o&=&\frac{\frac{1}{jωC_2}}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}v_c \\ &=&\frac{\frac{1}{jωC_2}}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}\frac{-h_f\frac{v_i}{h_i}}{\frac{1}{h_o}+jωC_1+\frac{1}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}}　…⑤ \end{eqnarray}$

したがって、ループ利得$AH$は、次のように求まります。
$\displaystyle AH=\frac{v_o}{v_i}=\frac{\frac{1}{ωC_2}}{ωL-\frac{1}{ωC_2}}\frac{\frac{h_f}{h_i}}{\frac{1}{h_o}+jωC_1+\frac{1}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}}$　…⑥

(3)周波数条件：$Im(AH)=0$

⑥式の虚数項のみを取り出して展開していきます。

$\displaystyle \begin{eqnarray} Im(AH)&=&Im \left(\frac{v_o}{v_i} \right)=0 \\ \\ &⇔&　jωC_1+\frac{1}{jωL+\frac{1}{jωC_2}}=0 \\ \\ &⇔&　\frac{C_1}{C_2}+\frac{1}{1-ω^2LC_2}=0 \\ \\ &⇔&　ω^2LC_1=1+\frac{C_1}{C_2} \\ \\ &⇔&　ω^2=\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2} \\ \\ &⇔&　ω=\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}　…⑦ \end{eqnarray}$

以上より、発振する角周波数 $ω$ を求めることができました。

(4)振幅条件：$Re(AH)≧1$

⑥式の実数項のみを取り出して展開していきます。

$\displaystyle Re(AH)=Re \left(\frac{v_o}{v_i} \right)=\frac{\frac{1}{ωC_2}}{ωL-\frac{1}{ωC_2}}\frac{\frac{h_f}{h_i}}{\frac{1}{h_o}}≧1$

⇔　$\displaystyle \frac{1}{ω^2LC_2-1}\frac{h_oh_f}{h_i}≧1$　…⑧

周波数条件で求めた⑦式の $ω$ を代入し、式の整理をするため部分的な計算をします。
$\displaystyle ω^2LC_2-1=\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}LC_2-1=\frac{C_2}{C_1}$　…⑨

⑧式に⑨式を代入すると、次のように振幅条件が求まります。
$\displaystyle \frac{C_1}{C_2}\frac{h_oh_f}{h_i}≧1$

(5)回路解析の結果まとめ

回路解析した結果、周波数条件、振幅条件を求めることが出来ました。

周波数条件
$\displaystyle ω=2πf=\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}$

⇔　$\displaystyle f=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}$

振幅条件
$\displaystyle \frac{C_1}{C_2}\frac{h_oh_f}{h_i}≧1$

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。