コンデンサ

コンデンサの電界分布が一定な理由

コンデンサの電界分布が一定な理由は、コンデンサの極板の表面から垂直に出た電気力線が、向かい合わせとなっているもう片方の極板に全て入るためです。

このことから、コンデンサの極板間の電界は、一様な電界
\(\displaystyle E=\frac{V}{d}\)
となります。
これをグラフに表すと左図の通りとなります。

電界強度\(E\)が誘電率\(ε\)に依存しない理由

電圧\(V\)が直流電源から与えられているときの電荷\(Q\)は次のように式を展開できます。したがって、電荷\(Q\)は電圧\(V\)に比例して変わります。
\(\displaystyle Q=CV=ε\frac{S}{d}V\)

電界強度の式に代入すると、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{εS}=\frac{V}{d}\)

したがって、\(\displaystyle E=\frac{V}{d}\)となり、誘電率\(ε\)に依存しないことが示されました。

電界強度\(E\)が誘電率\(ε\)に依存する理由

左図のように、誘電率\(ε_0\)の真空のコンデンサの間に誘電率\(ε_1\)の誘電体を挿入したとします。
このとき、コンデンサの各層（真空層・誘電体層）は直列接続されたものとみなせます。

直列接続されたコンデンサの両端に電圧\(V\)の直流電圧を与えた時、すべてのコンデンサに、同じ量の電荷\(Q\)が蓄えられます。

電界強度の式は、\(\displaystyle E=\frac{Q}{εS}\)であり、
各コンデンサの電荷量が一定であることから、電界強度は誘電率\(ε\)に反比例することがわかります。

以上より、異なる誘電率\(ε\)の誘電体を持つコンデンサを直列接続し、その両端に電圧\(V[V]\)の直流電源を接続したとき、誘電率\(ε\)に依存することが示されました。

線電荷の作る電界の電界強度\(E[V/m]\)は、ガウスの法則から、（→ガウスの法則解説）
\(\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}[V/m]\)　…①
　※Sは極板面積です。

この電界中で、単位電荷\(1[C]\)を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、コンデンサの極板間距離\(d[m]\)なので、
　・基　点：\(d[m]\)
　・対象点：\(0[m]\)
とします。

電位\(V[V]\)と電界\(E[V/m]\)の関係式は次の②式です。（→②式の解説ページ）
\(V=-\int_{基点}^{対象点}E dr\)　…②

②式に①式を代入すると、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{d}^{0}\frac{q}{ε_0S} dr = \frac{q}{ε_0S}\left[ r \right]_0^d \\
&=& \frac{q}{ε_0S}(d-0) = \frac{q}{ε_0S}d=Ed
\end{eqnarray}\)
以上、\(\displaystyle V=Ed\)が導出できました。

電荷量\(Q[C]\)・静電容量\(C[F]\)・電位\(V[V]\)の関係は水槽に溜められた水と比較すると、イメージしやすいかと思います。

コンデンサは電荷\(Q[C]\)を蓄える水槽として考えると、静電容量\(C[F]\)は水槽の容量です。

コンデンサに蓄えられる電荷\(Q\)は、\(Q=CV[C]\)
水槽に溜められる水は、\(V=SH\)であることから、
　・電荷\(Q[C]\)は、水量\(V[m^3]\)
　・静電容量\(C[F]\)は、水槽の面積\(S[m^2]\)
　・電位\(V[V]\)は、水位\(H[m]\)
と、対応します。

この対応を絵にすると、下図のようになります。

コンデンサの電位と電界関係から、
\(V=Ed\)　　　………①

コンデンサの電界強度\(E\)（ガウスの法則）から、
\(\displaystyle E=\frac{Q}{εS}\)　　　………②

電荷Q・静電容量C・電位Vの関係式から、
\(Q=CV\)
⇔ \(\displaystyle C=\frac{Q}{V}\)　　　………③

③式に①・②式を代入していくと、次のように展開できます。
\(\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{Ed}=\frac{Q}{\frac{Q}{ε_0S}d}=ε_0\frac{S}{d}\)

以上より、\(\displaystyle C=ε_0\frac{S}{d}\)が求められました。

直列接続時のコンデンサの合成容量\(C[F]\)の式の証明

\(C_1[F]\)・\(C_2[F]\)の２つのコンデンサに蓄えられる電荷は、両方とも\(Q[C]\)です。

２つのコンデンサの合成容量を\(C[F]\)とします。\(C[F]\)に蓄えられる電荷も\(Q[C]\)です。

このとき、次の式が成り立ちます。
\(Q=CV=C_1V_1=C_2V_2\)　…①

①式から、それぞれの電圧\(V、V_1、V_2\)が求められます。
\(\displaystyle V=\frac{Q}{C}\)　…②
\(\displaystyle V_1=\frac{Q}{C_1}\)　…③
\(\displaystyle V_2=\frac{Q}{C_2}\)　…④

各コンデンサの電圧の関係は
\(V=V_1+V_2\)　…⑤

⑤式に②・③・④を代入すると、
\(\displaystyle \frac{Q}{C}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}\)
⇔\(\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\)

以上より、直列接続時のコンデンサの合成容量が証明出来ました。

　並列接続時のコンデンサの合成容量\(C[F]\)の式の証明

\(C_1[F]\)のコンデンサに蓄えられる電荷は
\(Q_1[C]=C_1V\)　…①

\(C_2[F]\)のコンデンサに蓄えられる電荷は
\(Q_2=C_2V[C]\)　…②

２つのコンデンサの合成容量を\(C[F]\)とします。\(C[F]\)に蓄えられる電荷は
\(Q=CV[C]\)　…③

合成容量の電荷\(Q[C]\)は、\(Q_1[C]\)と\(Q_2[C]\)の電荷の合計なので、
\(Q=Q_1+Q_2\)　…④
です。

④式に①・②・③を代入すると、
\(CV=C_1V+C_2V\)
⇔\(C=C_1+C_2\)
以上より、並列接続時のコンデンサの合成容量が証明出来ました。

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