Δ-Y変換

Δ-Y変換

三相不平衡負荷の時（３相の負荷の大きさが異なるとき）

$\displaystyle Z_a=\frac{Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}[Ω]$

$\displaystyle Z_b=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2+Z_3}[Ω]$

$\displaystyle Z_c=\frac{Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}[Ω]$

①Δ結線の端子A-B間の合成インピーダンス$Z_{AB}$を求める　…（１）式

左図から、端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2+Z_3}$

整理すると、
$\displaystyle Z_{AB}=\frac{Z_1Z_2+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(1)式

②Δ結線の端子B-C間の合成インピーダンス$Z_{BC}$を求める　…（２）式

左図から、端子B-C間からみた合成インピーダンス$Z_{BC}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{BC}}=\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_1+Z_3}$

整理すると、
$\displaystyle Z_{BC}=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(2)式

③Δ結線の端子C-A間の合成インピーダンス$Z_{CA}$を求める　…（３）式

左図から、端子C-A間からみた合成インピーダンス$Z_{CA}$を求めます。
$\displaystyle \frac{1}{Z_{CA}}=\frac{1}{Z_3}+\frac{1}{Z_1+Z_2}$

整理すると、
$\displaystyle Z_{CA}=\frac{Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(3)式

④Y結線の端子A-B間の合成インピーダンス$Z_{AB}$を求める　…（４）式

左図から、端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$を求めます。
$Z_{AB}=Z_a+Z_b$　…(4)式

⑤Y結線の端子B-C間の合成インピーダンス$Z_{BC}$を求める　…（５）式

左図から、端子B-C間からみた合成インピーダンス$Z_{BC}$を求めます。
$Z_{BC}=Z_b+Z_c$　…(5)式

⑥Y結線の端子C-A間の合成インピーダンス$Z_{CA}$を求める　…（６）式

左図から、端子C-A間からみた合成インピーダンス$Z_{CA}$を求めます。
$Z_{CA}=Z_c+Z_a$　…(6)式

⑦(1)式＝(４)式　…（７）式
Δ結線の(1)式、Y結線の(4)式は共に$Z_{AB}$なので、(1)式=(4)式として式をつなげます。
$\displaystyle Z_a+Z_b=\frac{Z_1Z_2+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(7)式

⑧(２)式＝(５)式　…（８）式
Δ結線の(2)式、Y結線の(5)式は共に$Z_{BC}$なので、(2)式=(5)式として式をつなげます。
$\displaystyle Z_b+Z_c=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(8)式

⑨(３)式＝(６)式　…（９）式
Δ結線の(3)式、Y結線の(6)式は共に$Z_{CA}$なので、(3)式=(6)式として式をつなげます。
$\displaystyle Z_b+Z_c=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(9)式

⑩(７)式＋(８)式＋(９)式を求める　…（１０）式
(7)式+(8)式+(9)式を求めます。
$\displaystyle 2(Z_a＋Z_b+Z_c)=\frac{2(Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_3Z_1)}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⇔$\displaystyle Z_a＋Z_b+Z_c=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$　…(10)式

⑪(10)式－(８)式　から、Y結線のインピーダンス$Z_a$を求める
$\displaystyle Z_a＋Z_b+Z_c-(Z_b+Z_c)=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}-\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⇔$\displaystyle Z_a=\frac{Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⑫(10)式－(９)式　から、Y結線のインピーダンス$Z_b$を求める
$\displaystyle Z_a＋Z_b+Z_c-(Z_b+Z_c)=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}-\frac{Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⇔$\displaystyle Z_b=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⑬(10)式－(７)式　から、Y結線のインピーダンス$Z_c$を求める
$\displaystyle Z_a＋Z_b+Z_c-(Z_a+Z_b)=\frac{Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}-\frac{Z_1Z_2+Z_3Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$

⇔$\displaystyle Z_c=\frac{Z_2Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3}$

以上より、Y結線のインピーダンス$Z_a,Z_b,Z_c$と、Δ結線のインピーダンス$Z_1,Z_2,Z_3$の関係を示すことが出来ました。

Δ-Y変換の関係式導出手順
①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式
②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式
③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する

①Δ結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（１）式

左図から、Δ結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$は、
$\displaystyle \frac{1}{Z_{AB}}=\frac{1}{Z_Δ}+\frac{1}{2Z_Δ}$

整理すると、
$\displaystyle Z_{AB}=\frac{2}{3}Z_Δ$　…(1)式

②Y結線の端子A-B間の合成抵抗$Z_{AB}$を求める　…（２）式

左図から、Y結線の端子A-B間からみた合成インピーダンス$Z_{AB}$は、
$Z_{AB}=2Z_Y$　…(2)式

③(1)式=(2)式　から、$Z_Δ=3Z_Y$を導出する
(1)式=(2)式
$\displaystyle \frac{2}{3}Z_Δ=2Z_Y$

⇔$\displaystyle Z_Δ=3Z_Y$

以上より、$Z_Δ$と$Z_Y$の関係を求めることが出来ました。

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