【電験三種：理論】令和２年度　問１０

(a)問題の解答を行う
①テブナンの定理を使って回路を書き直す

破線から左側を見た抵抗$R_{ab}$を求めます。
$\frac{1}{R_{ab}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{1}$

⇔$R_{ab}=\frac{3}{4}=0.75Ω$

破線の端子電圧$V_{ab}$を求めます。
$V_{ab}=\frac{1}{1+3}10=2.5V$

テブナン等価回路に書き直すと左図のようになります。

②RC回路の$v(t)$について微分方程式を立てる

回路中を流れる電流を$i[A]$とします。
電流の定義式から、次の電流と電荷の関係式が出せます。
$i=\frac{dq}{dt}$

コンデンサの電荷、静電容量、電圧の関係式から
$q=Cv(t)$

電流と電荷の関係式に代入すると、
$i=C \frac{dv(t)}{dt}$

回路の方程式は、次式となります。
$V_{ab}=R_{ab}i+v(t)$
⇔　$V_{ab}=CR_{ab}\frac{dv(t)}{dt}+v(t)$

③過渡状態を解析して時定数を導出する
コンデンサ電圧の過渡解を$v_t(t)$とします。
$v_t(t)=ke^{-st}$
としたとき、
$\frac{dv_t(t)}{dt}=-ske^{-st}$

過渡解を求める方程式は、
$0=ke^{-st}-CR_{ab}ske^{-st}=(1-CR_{ab}s)ke^{-st}$

上式が成り立つ条件は、
$s=\frac{1}{CR_{ab}}$
です。

時定数$τ$は、過渡解の式が$e^{-1}$となるときの時間であるため、
$sτ=1$
⇔　$τ=\frac{1}{s}=CR_{ab}=1・0.75=0.75[s]$

したがって、時定数$τ=0.75s$と求まりました。

④定常状態を解析する
コンデンサは、テブナン等価回路の電源電圧$V_{ab}=2.5V$まで充電されます。
コンデンサ電圧の最終値である定常解は、$t=∞$秒立った時の電圧として考えられるので、$v_s(∞)=2.5V$と表せます。

以上より、
（２）時定数$τ[s]=0.75$、最終値$v(∞)=2.5$と求まりました。

【蛇足】$v(t)$の過渡応答の式を導出する
既に問いに対する解は求まりましたが、一般解を求めたらどのような式になるかを示します。

⑤初期状態を解析する
コンデンサの初期電圧は、$v(0)=0V$です。
したがって、
$v(0)=v_t(0)+v_s(∞)=ke^0+2.5=k+2.5=0$
⇔　$k=-2.5$

よって、過渡解$v_t(t)$が、次のように求まります。
$\displaystyle v_t(t)=-2.5e^{-\frac{1}{0.75}t}$

⑥$v(t)$の一般解を求める
$\displaystyle v(t)=v_t(t)+v_s(∞)=-2.5e^{-\frac{1}{0.75}t}+2.5=2.5(1-e^{-\frac{1}{0.75}t})$

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