交流回路の理論において、三角関数は切っても切り離すことはできません。
そして、交流電圧・電流の実効値を求めるような面倒くさい計算は、加法定理を使って式を分解する必要が出てきます。
三角関数に関する基本公式と、導出と、電験三種での使用頻度をまとめました。
三角関数の基本式
公式 | 使用頻度 | 暗記 |
sin^2θ+cos^2θ=1 | 最重要。絶対使う。 | 必須 |
\displaystyle tanθ=\frac{sinθ}{cosθ} | 時々使う | 必須 |
【補足】
sin^2θ+cos^2θ=1は三平方の定理で導かれます。
\displaystyle tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}は、∠θの傾きを表します。

公式 | 使用頻度 | 暗記する価値 |
sin(-θ)=-sinθ | 時々使う | 必要ない。 |
cos(-θ)=cosθ | 時々使う | 必要ない。 |

公式 | 使用頻度 | 暗記 |
\displaystyle sin(θ+\frac{π}{2})=cosθ | 時々使う | 必要ない。 |
\displaystyle cos(θ+\frac{π}{2})=-sinθ | 時々使う | 必要ない。 |

公式 | 使用頻度 | 暗記 |
\displaystyle sin(θ+π)=-sinθ | 時々使う | 必要ない。 |
\displaystyle cos(θ+π)=-cosθ | 時々使う | 必要ない。 |
加法定理
加法定理
角の加算α+β

公式 | 使用頻度 | 暗記する価値 |
sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ | 交流で使う | 必要 |
cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ | 交流で使う | 必要 |
角の減算α-β

公式 | 使用頻度 | 暗記する価値 |
sin(α-β)=sinα・cosβ-cosα・sinβ | 交流で使う | 必要 |
cos(α-β)=cosα・cosβ+sinα・sinβ | 交流で使う | 必要 |
加法定理の逆変換
公式 | 使用頻度 | 暗記する価値 |
\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2} | 時々使う | なし。 導出出来れば良い。 |
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2} | 時々使う | なし。 導出出来れば良い。 |
\displaystyle sinα・cosβ=\frac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2} | 時々使う | なし。 導出出来れば良い。 |
\displaystyle cosα・sinβ=\frac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2} | 時々使う | なし。 導出出来れば良い。 |
加法定理の逆変換の導出
\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2} …(A)
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2} …(B)の導出
cos(α-β)=cosα・cosβ+sinα・sinβ …①
cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ …②
①-②より、
2sinα・sinβ=cos(α-β)-cos(α+β)
⇔\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2}
①+②より、
2cosα・cosβ=cos(α-β)+cos(α+β)
⇔\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2}
\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2} …(C)
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2} …(D)の導出
sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ …③
sin(α-β)=sinα・cosβ-cosα・sinβ …④
③+④より、
2sinα・cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)
⇔\displaystyle sinα・cosβ=\frac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}
③-④より、
2cosα・sinβ=sin(α+β)-sin(α-β)
⇔\displaystyle cosα・sinβ=\frac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}
倍角の公式
公式 | 使用頻度 | 暗記する価値 |
sin2α=2sinα・cosα | 交流で使う | 無い。導出すれば良い。 |
cos2α=cos^2α-sin^2α | 交流で使う | 無い。導出すれば良い。 |
倍角の公式の導出
sin2α=2sinα・cosαの導出
加法定理の式sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβの式に対し、
α=βとすると、
sin(α+α)=sinα・cosα+cosα・sinα=2sinα・cosα
cos2α=cos^2α-sin^2αの導出
加法定理の式cos(α+β)=cosα・cosβ+sinα・sinβの式に対し、
α=βとすると、
cos(α+α)=cosα・cosα-sinα・sinα=cos^2α-sin^2α
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参考書
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