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三角関数

三角関数 その他

交流回路の理論において、三角関数は切っても切り離すことはできません。
そして、交流電圧・電流の実効値を求めるような面倒くさい計算は、加法定理を使って式を分解する必要が出てきます。
三角関数に関する基本公式と、導出と、電験三種での使用頻度をまとめました。

 

三角関数の基本式

公式使用頻度暗記
sin^2θ+cos^2θ=1最重要。絶対使う。必須
\displaystyle tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}時々使う必須

【補足】
sin^2θ+cos^2θ=1は三平方の定理で導かれます。
\displaystyle tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}は、∠θの傾きを表します。

公式使用頻度暗記する価値
sin(-θ)=-sinθ時々使う必要ない。
cos(-θ)=cosθ時々使う必要ない。
公式使用頻度暗記
\displaystyle sin(θ+\frac{π}{2})=cosθ時々使う必要ない。
\displaystyle cos(θ+\frac{π}{2})=-sinθ時々使う必要ない。
公式使用頻度暗記
\displaystyle sin(θ+π)=-sinθ時々使う必要ない。
\displaystyle cos(θ+π)=-cosθ時々使う必要ない。

 

加法定理

加法定理

角の加算α+β

公式使用頻度暗記する価値
sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ交流で使う必要
cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ交流で使う必要

 

角の減算α-β

公式使用頻度暗記する価値
sin(α-β)=sinα・cosβ-cosα・sinβ交流で使う必要
cos(α-β)=cosα・cosβ+sinα・sinβ交流で使う必要

 

加法定理の逆変換

公式使用頻度暗記する価値
\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2}時々使うなし。
導出出来れば良い。
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2}時々使うなし。
導出出来れば良い。
\displaystyle sinα・cosβ=\frac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}時々使うなし。
導出出来れば良い。
\displaystyle cosα・sinβ=\frac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}時々使うなし。
導出出来れば良い。

加法定理の逆変換の導出


\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2} …(A)
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2} …(B)の導出
cos(α-β)=cosα・cosβ+sinα・sinβ …①
cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ …②

①-②より、
2sinα・sinβ=cos(α-β)-cos(α+β)
\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2}

①+②より、
2cosα・cosβ=cos(α-β)+cos(α+β)
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2}

\displaystyle sinα・sinβ=\frac{cos(α-β)-cos(α+β)}{2} …(C)
\displaystyle cosα・cosβ=\frac{cos(α-β)+cos(α+β)}{2} …(D)の導出
sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ …③
sin(α-β)=sinα・cosβ-cosα・sinβ …④

③+④より、
2sinα・cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)
\displaystyle sinα・cosβ=\frac{sin(α+β)+sin(α-β)}{2}

③-④より、
2cosα・sinβ=sin(α+β)-sin(α-β)
\displaystyle cosα・sinβ=\frac{sin(α+β)-sin(α-β)}{2}

 

倍角の公式

公式使用頻度暗記する価値
sin2α=2sinα・cosα交流で使う無い。導出すれば良い。
cos2α=cos^2α-sin^2α交流で使う無い。導出すれば良い。

倍角の公式の導出


sin2α=2sinα・cosαの導出

加法定理の式sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβの式に対し、
α=βとすると、

sin(α+α)=sinα・cosα+cosα・sinα=2sinα・cosα

cos2α=cos^2α-sin^2αの導出

加法定理の式cos(α+β)=cosα・cosβ+sinα・sinβの式に対し、
α=βとすると、

cos(α+α)=cosα・cosα-sinα・sinα=cos^2α-sin^2α

 

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参考書

イラストがとても多く、視覚的に理解しやすいので、初学者に、お勧めなテキストです。

問題のページよりも、解説のページ数が圧倒的に多い、初学者に向けの問題集です。
問題集は、解説の質がその価値を決めます。解説には分かりやすいイラストが多く、始めて電気に触れる人でも取り組みやすいことでしょう。

本ブログの管理人は、電験3種過去問マスタを使って電験3種を取りました。
この問題集の解説は、要点が端的にまとまっていて分かりやすいのでお勧めです。
ある程度学んで基礎がある人に向いています。

 

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