交流電圧

交流電圧

・瞬時値$v$
時間tによって変化する、瞬間的な電圧です。

・最大値$V_m$　（波高値）
基準となる０Vからの、電圧の最大値です。

・$V_{pp}$　（peak to peak）
正の最大値から負の最大値までの電位差です。

・実効値$V_{rms}$
交流電圧を直流電圧に換算した値です。
コンセント等の電源ではAC100V、AC200Vと表現することがありますが、この100V、200Vは実効値を表します。なお、ACは交流（Alternating Current）の意味です。
また、交流電圧計、電流計に表示される値は、実効値が表示されます。
したがって、実効値は実用上で非常に重要な概念です。
　

　

電圧実効値$V_{rms}$

電圧実効値の意味
電圧の実効値とは、交流を流したときに、直流に換算するとどのくらいになるかを表す電圧です。

ある抵抗$R[Ω]$に交流電圧$v=V_m sinωt[V]$を加えたときに消費される平均電力$P_{av}$とします。
同じ抵抗$R[Ω]$に直流電圧$V_d$を加えたに消費される電力$P_d$とします。
$P_{av}=P_d$となるときの直流電圧$V_d$が、交流電圧実効値$V_{rms}$に相当します。

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何故、このように電圧実効値を設定する必要があるのか。
交流回路の電圧、電流は常に大きさも、正・負も変動し続けるため、直流電圧、電流のように簡単に決める事ができません。
単純に交流電圧の平均値を取ると、交流電圧の正・負も周期的に変化し続けるため、０となってしまいます。そのため、単純に平均を取るだけでは大きさを示せません。（電圧の平均値というのは別途あります）

電圧の大きさを一意に決められる直流電圧に、消費電力を比較する形で換算してしまえば、交流電圧の大きさを決めることが出来ます。
以上のことから、このように電圧実効値が決められます。

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電圧実効値$V_{rms}$ではなく、電圧の最大値$V_m$を電圧として扱うことは出来ないのか？
私が交流を最初に学んだときに疑問に思ったことです。
交流回路は、コンセント電源のように主に正弦波を使うことが多いです。
しかし、交流を直流に変換する回路では半波整流の波形になりますし、方形波、三角波等の様々な波形を扱うこともあります。
そのため、電圧最大値のみで交流電源の電圧を決める事はできません。したがって、最大値ではなく実効値が必要です。

　

実効値の求め方

実効値の式
$\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2dt}$

実効値の式の証明

この時の瞬時消費電力$p$は、次式で表されます。
$\displaystyle p=\frac{v^2}{R}=\frac{V_m^2}{R}sin^2ωt=\frac{V_m^2}{R}(1-cos^2 ωt)$

$\displaystyle 　=\frac{V_m^2}{R} \left( 1-\frac{cos2ωt+1}{2}\right)=\frac{V_m^2}{2R}(1-cos2ωt)$

平均消費電力$P_{av}$は、１周期積分し、周期Tで割れば求まります。
$\displaystyle P_{av}=\frac{1}{T}\int_0^T p dt$
$\displaystyle 　　=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{v^2}{R} dt$　…①
$\displaystyle 　　=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{V_m^2}{2R}(1-cos2ωt)dt$
$\displaystyle 　　=\frac{V_m^2}{2R} \frac{1}{T}\int_0^T (1-cos2ωt) dt$
$\displaystyle 　　=\frac{V_m^2}{2R} \frac{1}{T}\left[ t-\frac{1}{2ω}sin2ωt \right]_0^T =\frac{V_m^2}{2R} \frac{1}{T}・T$
$\displaystyle 　　=\frac{V_m^2}{2R}$　…②
$\displaystyle 　　=\frac{V_{rms}^2}{R}$　…③

以上より、②＝③なので、
$\displaystyle V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$
このことから、正弦波の電圧の実効値が最大値の$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍となることが証明出来ました。

また、①=③なので、
$\displaystyle \frac{1}{T}\int_0^T \frac{v^2}{R} dt =\frac{V_{rms}^2}{R}$
⇔$\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2 dt }$
以上より、電圧の実効値の式を証明することができました。

　

　

平均値$V_{ave}$

交流電圧の平均値は、１周期分の積分を行った後、周期T秒で割ることで求めることができます。
しかし、正弦波$v=V_m sinωt$はマイナスの値も取るため、１周期を単純に積分すると、値は０となります。
そこで、電圧の大きさ$|v|$の積分を取ることで、平均値を求めることができます。

平均値の式
$\displaystyle V_{ave}=\frac{1}{T}\int_0^T |v|dt$

正弦波 $v=V_m sinωt$ の平均値の導出

$\displaystyle V_{ave}=\frac{1}{T}\int_0^T |v|dt$

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{1}{T}\int_0^T |V_m sinωt| dt$

$0から\frac{T}{2}$の期間は、正弦波はプラスですが、$\frac{T}{2}からT$の期間は正弦波はマイナスになるので、次のように式を分けます。

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{1}{T} \left( \int_0^{\frac{T}{2}} V_m sinωt dt+\int_{\frac{T}{2}}^T -V_m sinωt dt \right)$

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{1}{T} \left( \frac{V_m}{ω} [-cosωt]_0^{\frac{T}{2}}-\frac{V_m}{ω} [-cosωt]_{\frac{T}{2}}^T \right)$

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{V_m}{ωT} \left( -cos\frac{ωT}{2}+cos0+cosωT-cos\frac{ωT}{2} \right)$

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{V_m}{ωT} \left( -(-1)+1+1-(-1) \right)=\frac{4V_m}{ωT}$

⇔$\displaystyle V_{ave}=\frac{4V_m}{2πfT}=\frac{2V_m}{π}=0.637V_m$

　

　

波形率

波形率は、平均値に対する実効値の比で、次式で表されます。
$\displaystyle 波形率=\frac{実効値V_{rms}}{平均値V_{ave}}$

波形率の意味は、交流波形が、どれだけ直流波形（平均値＝実効値）に近いかを示します。
・直流の波形率　：1
・正弦波の波形率：1.11
　

　

　

波高率

波高率とは、交流波形の実効値に対するピーク値の比率であり、次式で表されます。
$\displaystyle 波高率=\frac{波高値V_m}{実効値V_{rms}}$

波高率は交流電源の電源品質のパラメータとして使われ、波高率が高くなると力率が悪い状態を示します。
波高率が1.41に近いと良好な電源ですが、波高率が上昇すると、次のような悪影響があります。
　・力率が悪化して電力損失が増加する
　・瞬間的な高い値を示す

　

周期T

周波数f

角周波数ω

　

　

　

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参考書