磁気エネルギー

左図のように、自己インダクタンス\(L[H]\)のコイルに、時間変化する電流\(i[A]\)を流した時、コイルに蓄えられるエネルギー\(W[W]\)を考えます。

コイルの電位\(v[V]\)は、次式となります。
　　（式の導出の参考→自己インダクタンスの解説）
\(\displaystyle v=L\frac{di}{dt}\)　…①

\(\frac{di}{dt}\)は、コイルに流れる電流\(i\)が、\(dt\)秒間に\(di\)だけ変化したことを表します。

次に、電源がコイルに送る電力\(p[W]\)は、
\(\displaystyle p=v・i=\left(L \frac{di}{dt}\right)・i[W]\)　…②

\(dt\)秒間にコイルが受取るエネルギー\(dw[W]\)は、
\(\displaystyle dw = p・dt\)　…③

③式に①・②式を代入して展開していくと、
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
dw &=& p・dt = v・i dt\\
&=& \left(L \frac{di}{dt}\right)・i・dt\\
&=& Li・di　…④
\end{eqnarray}\)

時間変化しなくなり、流れる電流が\(I[A]\)となったときに、コイルの\(L[H]\)が蓄えるエネルギー\(W[J]\)は、④式の電流\(i\)が初期値（\(i=0\)）から、定常状態（\(i=I\)）になるまでを積分すれば求まります。
\(\displaystyle W=\int_{0}^{I} dw=\int_{0}^{I} L・i・di=L\int_{0}^{I} i・di\)
\(\displaystyle 　=L\left[\frac{1}{2}i^2\right]_0^I=\frac{1}{2}LI^2[J]\)

以上より、コイルに蓄えられる磁気エネルギーは\(\displaystyle 　W=\frac{1}{2}LI^2[J]\)です。