コンデンサ

コンデンサの電界分布が一定な理由

コンデンサの電界分布が一定な理由は、コンデンサの極板の表面から垂直に出た電気力線が、向かい合わせとなっているもう片方の極板に全て入るためです。

このことから、コンデンサの極板間の電界は、一様な電界
$\displaystyle E=\frac{V}{d}$
となります。
これをグラフに表すと左図の通りとなります。

電界強度$E$が誘電率$ε$に依存しない理由

電圧$V$が直流電源から与えられているときの電荷$Q$は次のように式を展開できます。したがって、電荷$Q$は電圧$V$に比例して変わります。
$\displaystyle Q=CV=ε\frac{S}{d}V$

電界強度の式に代入すると、
$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}=\frac{V}{d}$

したがって、$\displaystyle E=\frac{V}{d}$となり、誘電率$ε$に依存しないことが示されました。

線電荷の作る電界の電界強度$E[V/m]$は、ガウスの法則から、（→ガウスの法則解説）
$\displaystyle E=\frac{Q}{ε_0S}[V/m]$　…①
　※Sは極板面積です。

この電界中で、単位電荷$1[C]$を基点から対象点まで移動させたときの電位を求めます。
このとき、コンデンサの極板間距離$d[m]$なので、
　・基　点：$d[m]$
　・対象点：$0[m]$
とします。

電位$V[V]$と電界$E[V/m]$の関係式は次の②式です。（→②式の解説ページ）
$V=-\int_{基点}^{対象点}E dr$　…②

②式に①式を代入すると、
$\displaystyle \begin{eqnarray} V&=&-\int_{基点}^{対象点}E dr = -\int_{d}^{0}\frac{q}{ε_0S} dr = \frac{q}{ε_0S}\left[ r \right]_0^d \\ &=& \frac{q}{ε_0S}(d-0) = \frac{q}{ε_0S}d=Ed \end{eqnarray}$
以上、$\displaystyle V=Ed$が導出できました。

電荷量$Q[C]$・静電容量$C[F]$・電位$V[V]$の関係は水槽に溜められた水と比較すると、イメージしやすいかと思います。

コンデンサは電荷$Q[C]$を蓄える水槽として考えると、静電容量$C[F]$は水槽の容量です。

コンデンサに蓄えられる電荷$Q$は、$Q=CV[C]$
水槽に溜められる水は、$V=SH$であることから、
　・電荷$Q[C]$は、水量$V[m^3]$
　・静電容量$C[F]$は、水槽の面積$S[m^2]$
　・電位$V[V]$は、水位$H[m]$
と、対応します。

この対応を絵にすると、下図のようになります。

コンデンサの電位と電界関係から、
$V=Ed$　　　………①

コンデンサの電界強度$E$（ガウスの法則）から、
$\displaystyle E=\frac{Q}{εS}$　　　………②

電荷Q・静電容量C・電位Vの関係式から、
$Q=CV$
⇔ $\displaystyle C=\frac{Q}{V}$　　　………③

③式に①・②式を代入していくと、次のように展開できます。
$\displaystyle C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{Ed}=\frac{Q}{\frac{Q}{ε_0S}d}=ε_0\frac{S}{d}$

以上より、$\displaystyle C=ε_0\frac{S}{d}$が求められました。

直列接続時のコンデンサの合成容量$C[F]$の式の証明

$C_1[F]$・$C_2[F]$の２つのコンデンサに蓄えられる電荷は、両方とも$Q[C]$です。

２つのコンデンサの合成容量を$C[F]$とします。$C[F]$に蓄えられる電荷も$Q[C]$です。

このとき、次の式が成り立ちます。
$Q=CV=C_1V_1=C_2V_2$　…①

①式から、それぞれの電圧$V、V_1、V_2$が求められます。
$\displaystyle V=\frac{Q}{C}$　…②
$\displaystyle V_1=\frac{Q}{C_1}$　…③
$\displaystyle V_2=\frac{Q}{C_2}$　…④

各コンデンサの電圧の関係は
$V=V_1+V_2$　…⑤

⑤式に②・③・④を代入すると、
$\displaystyle \frac{Q}{C}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}$
⇔$\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

以上より、直列接続時のコンデンサの合成容量が証明出来ました。

　並列接続時のコンデンサの合成容量$C[F]$の式の証明

$C_1[F]$のコンデンサに蓄えられる電荷は
$Q_1[C]=C_1V$　…①

$C_2[F]$のコンデンサに蓄えられる電荷は
$Q_2=C_2V[C]$　…②

２つのコンデンサの合成容量を$C[F]$とします。$C[F]$に蓄えられる電荷は
$Q=CV[C]$　…③

合成容量の電荷$Q[C]$は、$Q_1[C]$と$Q_2[C]$の電荷の合計なので、
$Q=Q_1+Q_2$　…④
です。

④式に①・②・③を代入すると、
$CV=C_1V+C_2V$
⇔$C=C_1+C_2$
以上より、並列接続時のコンデンサの合成容量が証明出来ました。

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