難易度
直流回路に関する問題です。
基本的なレベルの問題なので、確実に回答したいです。
問題
図に示す直流回路は、\(100V\)の直流電圧源に直流電流計を介して\(10Ω\)の抵抗が接続され、\(50Ω\)の抵抗と抵抗\(R[Ω]\)が接続されている。
電流計は\(5A\)を示している。
抵抗\(R[Ω]\)で消費される電力の値\([W]\)として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。
なお、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
（１）２ （２）１０ （３）２０ （４）１００ （５）２００
答え
(５)
要点整理
分圧の法則について
図のように、抵抗\(R_1[Ω]\)と、抵抗\(R_2[Ω]\)が直列接続されていて、電圧\(V[V]\)が印加されているとき、回路全体に\(I[A]\)の電流が流れ、抵抗\(R_1[Ω]\)には\(V_1[V]\)、抵抗\(R_2[Ω]\)には\(V_2[V]\)の電圧が印加されているとします。この時の分圧の法則は次のように示されます。
分圧の法則
\(\displaystyle V_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V\)
\(\displaystyle V_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V\)
分圧の法則の証明
この式を一々覚えるのは脳の容量の無駄なので、この分流の法則を証明します。
抵抗\(R_1[Ω]\)、\(R_2[Ω]\)の合成抵抗\(R[Ω]\)は、
\(\displaystyle R=R_1+R_2\) ………①
回路全体のオームの法則から、①を代入すると
\(\displaystyle I=\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1+R_2}I\) ………②
抵抗\(R_1[Ω]\)に印加される電圧\(V_1[A]\)は、オームの法則から、②を代入すると
\(\displaystyle V_1=IR_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}V\)
抵抗\(R_2[Ω]\)に印加される電圧\(V_2[A]\)は、オームの法則から、②を代入すると
\(\displaystyle V_2=IR_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}V\)
以上で、分圧則の式が証明できました。
分流の法則について
図のように、抵抗\(R_1[Ω]\)と、抵抗\(R_2[Ω]\)が並列接続されていて、電圧\(V[V]\)が印加されているとき、回路全体に\(I[A]\)の電流が流れ、抵抗\(R_1[Ω]\)には\(I_1[A]\)、抵抗\(R_2[Ω]\)には\(I_2[A]\)の電流が流れているとします。この時の分流の法則は次のように示されます。
分流の法則
\(\displaystyle I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I\)
\(\displaystyle I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I\)
分流の法則の証明
この式を一々覚えるのは脳の容量の無駄なので、この分流の法則を証明します。
抵抗\(R_1[Ω]\)、\(R_2[Ω]\)の合成抵抗\(R[Ω]\)は、
\(\displaystyle R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) ………①
回路全体のオームの法則から、
\(\displaystyle V=IR=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}I\) ………②
抵抗\(R_1[Ω]\)に流れる電流\(I_1[A]\)は、オームの法則から、②を代入すると
\(\displaystyle I_1=\frac{V}{R_1}=\frac{R_2}{R_1+R_2}I\)
抵抗\(R_2[Ω]\)に流れる電流\(I_2[A]\)は、オームの法則から、②を代入すると
\(\displaystyle I_2=\frac{V}{R_2}=\frac{R_1}{R_1+R_2}I\)
以上で、分流則の式が証明できました。
要点整理の適用
電流計が\(5A\)を示していることから、全抵抗の合成抵抗\(R’\)は、
\(\displaystyle R’=\frac{V}{I}=\frac{100}{5}=20Ω\)
回路図から、合成抵抗\(R’\)を導くと、
\(\displaystyle R’=10+\frac{50R}{R+50}\)
と、立式できるので、\(R’=20Ω\)を代入して式を整理することで\(R\)を求めます。
\(\displaystyle 10=\frac{50R}{R+50}\)
⇔\(\displaystyle 10(R+50)=50R\)
⇔\(\displaystyle 500=40R\)
⇔\(\displaystyle R=12.5Ω\)
したがって、\(\displaystyle R=12.5Ω\)と求まりました。
抵抗\(R[Ω]\)で消費される電力を求めるには、抵抗\(R[Ω]\)にかかる電圧か、流れる電流のどちらかを求めれば良いです。
①解法１ 抵抗\(R[Ω]\)にかかる電圧を求めてから消費電力を求める
回路図の\(10Ω\)の電圧降下は、\(V_10Ω=5[A]・10[Ω]=50[V]\)なので、
抵抗\(R[Ω]\)にかかる電圧を\(V_R\)とすると、\(V_R=100-50=50[V]\)と求まります。
消費電力の式は、\(\displaystyle W=\frac{V^2}{R}=\frac{50^2}{12.5}=200[W]\)と求まります。
②解法２ 抵抗\(R[Ω]\)に流れる電流を求めてから消費電力を求める
回路全体に流れる\(5[A]\)は、抵抗\(R[Ω]\)と、抵抗\(50[Ω]\)に分流されます。
分流の式から
\(\displaystyle I_R=\frac{50}{R+50}・5=\frac{50}{62.5}・5=4[A]\)と求まります。
消費電力の式は、\(\displaystyle W=I^2R=4^2・12.5=200[W]\)と求まります。
以上より、（５）２００ が答えとなります。
出典元
令和５年度第三種電気主任技術者試験 理論科目Ａ問題下期問５
参考書
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